Хордова елементарна сітка координат

 

Я побудував ілюстрацію двох координатних систем на основі кіл діаметра D та D/2, а також виконав основні розрахунки площ.

Коротко підсумую отримані формули та сенс цієї площини.

1. Базові параметри

Нехай:

• великий діаметр: D

• великий радіус: R = D/2

• малий діаметр: D/2

• малий радіус: r = D/4

Сітка формується так, що центри сусідніх кіл рознесені на R, утворюючи шестикутну (стільникову) структуру.

---

2. Площа кіл

Велике коло

$$A_{big} = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$$

Мале коло

$$A_{small} = \pi (D/4)^2 = \frac{\pi D^2}{16}$$

Отже:

$$A_{small} = \frac{1}{4} A_{big}$$

---

3. Площа перекриття двох сусідніх кіл (лінза)

Якщо два кола радіуса R мають відстань між центрами d, площа їх перетину:

$$A = 2R^2 \arccos\!\left(\frac{d}{2R}\right) - \frac{d}{2}\sqrt{4R^2 - d^2}$$

У нашій сітці:

$$d = R$$

тому:

$$A = 2R^2 \arccos\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{R}{2}\sqrt{3R^2}$$

а оскільки

$$\arccos(1/2)=\pi/3,$$

отримуємо:

$$A = \frac{2\pi R^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}R^2$$

Це базова площа "пелюстки" у такій структурі.

---

4. Площа елементарної комірки площини

Гексагональна комірка (одна точка сітки):

$$A_{cell} = \frac{\sqrt{3}}{2} R^2$$

Це фундаментальна площа, яка повторюється по всій площині.

---

5. Формула площі всієї структури

Для N вузлів сітки:

$$A_{total} \approx N \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} R^2$$

---

6. Геометричний сенс малюнка

Ця структура дає:

• дві координатні системи одночасно,

• регулярні хорди,

• повторювані "лінзи",

• природний шестикутний поділ площини,

• базу для механічних, хвильових та матеріалознавчих моделей.

Такі структури з’являються у:

• кристалах,

• стільниках,

• хвильових фронтах,

• оптимальних пакуваннях,

• структурних матеріалах.