Хорди Іщенка. Аксіоми геометрії Іщенка.

 

Які види хорд існують в класичних геометріях?

Цікаве питання 👍
У класичних геометріях (Евклідова, сферична, гіперболічна) поняття хорди справді має різні відтінки. Я коротко систематизую:
🔹 1. Евклідова геометрія (плоска, лінійна)
Хорда кола – відрізок, що з’єднує дві точки кола.
Особливий випадок – діаметр, коли хорда проходить через центр.
Хорда дуги – зв’язує кінці дуги.
Хорда багатокутника – внутрішня діагональ, якщо обидві вершини лежать на вписаному колі.
У просторі: хорда сфери – відрізок, що з’єднує дві точки поверхні сфери через внутрішність.
🔹 2. Сферична геометрія (поверхня кулі, де «прямі» – це великі кола)
Хорда сферична – відрізок у 3D-просторі, що з’єднує дві точки сфери (всередині кулі).
Дуга великого кола – аналог «прямої» на сфері, але сама вона лежить на поверхні, не всередині.
→ Важливе розрізнення: на сфері є дві геодезичні лінії між точками (коротка й довга дуга).
Сферична хорда часто вимірюється через центральний кут: ∣AB∣ = 2R sin θ/2
де – θ кут між радіусами 0A і 0В.
🔹 3. Гіперболічна геометрія (модель Пуанкаре або Белтрамі-Клейна)
«Прямі» – це дуги кіл (або діаметри), ортогональні до граничного кола.
«Хорди» там часто ототожнюють з цими дугами чи відрізками, які сполучають дві точки на межі диска/гіперболоїда.
У гіперболічному просторі відстань між точками не збігається з довжиною евклідової хорди – вона визначається логарифмічно через крос-відношення.
🔹 4. Узагальнено
Можна виділити кілька типів хорд:
1. Прямі хорди – всередині кола/сфери (евклідова інтерпретація).
2. Геодезичні хорди – найкоротші відстані на кривих поверхнях (дуги великого кола на сфері, дуги в гіперболічному диску).
3. Криволінійні хорди – як у твоїй ідеї: не обов’язково прямі, а узяті як криві від центру до точок дотику (можуть бути частинами спіралей, хвильових ліній, фрактальних шляхів). Метрична система в такому просторі має в основі частину відрізку кола в 2Д або частину екватора сфери. 
4. Діаметральні – максимально довгі хорди.
5. Малі хорди – коли точки близькі, хорда апроксимує дугу.

Питання ШІ: ❓Хочеш, я спробую зробити невелику таблицю «порівняння хорд» у трьох геометріях (евклідова– сферична–гіперболічна), щоб було видно, де вони прямі, де дуги, а де нелінійні?

📐 Аксіоми Геометрії Іщенка
1. Аксіома простору
Простір складається з множини точок, які можуть утворювати фігури (кола, сфери, фрактальні комбінації).
2. Аксіома кола
Для будь-якої точки О існує множина точок, що знаходяться на однаковій відстані від O. Ця множина називається коло (у 3D – це сфера).
3. Аксіома часткових довжин
Основою виміру довжин є частки довжини кола.
Допустимими є раціональні частки (наприклад, (наприклад, 1/3, 1/6, 1/12).

Абсолютні значення (π, r) не використовуються. Або використовуються для локального уявлення про певний відрізок простору. 

Довжина визначається як відношення до довжини кола, екватора сфери.
4. Аксіома хорди Іщенка
Для будь-якої частки довжини кола існує особлива крива, що з’єднує дві точки цього кола.
Ця крива називається хорда Іщенка.
Вона може бути прямою, дугою або кривою іншої природи.
Її визначає дискретне відношення до кола, а не мінімальність довжини.
5. Аксіома гомеоморфізму
Будь-яке коло чи сфера можуть бути розкладені на скінченну кількість «пелюсток» та «вовіків» — базових фігур, що виникають при перетині 2-х або 3-х кіл (сфер).
Таким чином, простір самоподібний.
Гомеоморфізм зберігає дискретні довжини.
6. Аксіома фрактальної побудови
Будь-яка конфігурація кіл або сфер може бути продовжена побудовою нових кіл (сфер) через точки їхніх перетинів.
Це породжує нескінченний фрактал.
Центри нових кіл (сфер) утворюють фрактальну ґратку.

7. Аксіома симетрії
Фігури, побудовані за хордами Іщенка, мають властивість симетрії:
збереження пропорцій при масштабуванні,
інваріантність відносно відображення через центр.
8. Аксіома виміру
Довжина, площа і об’єм визначаються через кількість базових елементів (пелюсток, вовіків, криволінійних пірамід), з яких складається гомеоморфно фігура в просторі.
Це дискретний, але досі - не безперервний вимір.
🔹 Таким чином:
Геометрія Іщенка не потребує "приблизності" значення числа π, що накопичує похибку.

Основні об’єкти — хорди часткових довжин і фрактальні блоки («пелюстки», «вовіки»).
Вона поєднує властивості сферичної геометрії (бо все крутиться навколо кола/сфери) та фрактальної (бо просторові побудови завжди ведуть до самоподібності).