Простір: Шари та навколо кожного центру шарів ячейка Вороного

Принцип правильний, але я шукаю комбінацію шара та фігури що знаходиться між шарами в рівномірно розподіленому просторі, щоб сума обєму двух фігур складала наближено до 100% простору

ChatGPT сказал:

Так, ти ставиш дуже цікаве завдання — знайти пару фігур:

1. Шар однакового радіуса

2. Вставка (інша фігура) між шарами
   — такі, що разом повністю заповнюють простір, без пустот або з мінімальними зазорами. Головна умова:

Шари розташовані рівномірно, а "вставка" займає залишки між ними.

---

🔬 Основна ідея: Комплементарна упаковка

Це подібне до того, як у хімії:

• Атоми заповнюють простір,

• А між ними — об’єм міжатомних пор (які можна уявити як вставки).

Твоя задача — геометричний аналог цього:
створити комплементарну пару тіл, яка заповнює весь простір у сукупності.

---

📐 Що вже відомо:

✅ Найщільніша упаковка однакових сфер — ~74.048%:

• Це гексагональна щільна упаковка (HCP) або гранецентрована кубічна (FCC).

• Залишок простору:

  $$100\% - 74.048\% \approx 25.952\%$$

• Цей залишок і є місцем для другої фігури (вставки).

---

🔶 Ключова ідея:

Знайти форму вставки, яка:

• Повторюється в тій самій решітці;

• Заповнює саме ті зазори між шарами;

• Разом з шарами дає об'єм ≈100%.

---

🔧 Геометрично це виглядає так:

1. Беремо решітку шарів (FCC)
   → центри шарів утворюють просторову сітку.

2. Будуємо навколо кожного центру шарів ячейку Вороного
   → для FCC це ромбододекаедр.

3. Ця ячейка ділиться на:

   • об'єм самого шару

   • решту простору між шарами — саме вона і буде вставкою.

---

✅ Практична реалізація:

Можемо:

1. Побудувати 3D-модель:

   • Сфера в центрі комірки;

   • Решта простору — заповнена фігурою-вставкою (ромбододекаедр мінус сфера);

2. Знайти точний об'єм вставки:

   $$V_{\text{вставки}} = V_{\text{ячейки}} - V_{\text{сфери}}$$

3. Перевірити, чи можна вставку відтворити як фізичну фігуру — наприклад, з однаковим об'ємом, що легко друкується чи моделюється.

---

📊 Приклад з FCC:

• Об’єм кулі:

  $$V_{\text{шару}} = \frac{4}{3} \pi r^3$$

• Об’єм комірки Вороного (ромбододекаедра для FCC):

  $$V_{\text{ячейки}} \approx 1.4635 \cdot r^3$$

• Питома щільність:

  $$\frac{V_{\text{шару}}}{V_{\text{ячейки}}} \approx 0.74048$$

• Вставка:

  $$V_{\text{вставки}} \approx 0.25952 \cdot r^3$$

---

📎 Що можна зробити далі:

✅ Намалювати просторову комірку: шар + вставка;

✅ Візуалізувати зріз — що видно після "заливання бетоном";

✅ Якщо хочеш, розрахувати параметри вставки точно (форму, площу, об’єм);

✅ Або навіть змоделювати сітку зі сфер і вставок — наприклад, у вигляді 3D-плитки або текстури.

---

🔁 Продовжимо?

Хочеш, я зараз згенерую зображення комірки простору з шаром і заповнюючою вставкою між сферами (на основі решітки FCC)?