🔷 Класифікація систем координат

 

🔷 Класифікація систем координат

1. Лінійні системи координат

Це класичні системи, де простір подається прямими осями з постійним масштабом:

Тип	Осі	Характеристики
Декартова	x, y, z	Прямі ортогональні осі, евклідова геометрія
Циліндрична	r, φ, z	Одна кутова координата, хороша для обертання
Сферична	r, θ, φ	Радіус + 2 кути, ізотропний розподіл в кулі

---

2. Умовно-лінійні (нелінійні, але структурно впорядковані)

Ці координати локально чи частково лінійні, але не мають глобальної прямолінійності:

Тип	Осі	Приклад
Полярні	r, φ	2D-площина з центром
Тензорні / Ріманові простори	gᵢⱼ	Векторні поля з метричним тензором
Топологічні мережі	вузли, ребра	Визначають зв’язність, а не відстань

---

3. Абсолютно криві системи ("шарові" або клеєві координати)

Нова концепція.

🔸 Введення:

Це система, де простір задається не через прямі осі, а через взаємне розміщення шарів, кожен із яких має екватор, довжина якого є базовою одиницею, а координати всередині шару будуються по внутрішніх кривих (хордах, дугах тощо).

---

🧩 Простір кривих шарів: базова модель

▶ Основна одиниця: "шар"

• Шар має екватор довжиною = 3 умовні одиниці (3 U).

• У площині шару можна провести хорди довжиною = 1 U навколо центрального діаметру.

• З'єднання точок по цим хордам утворює ідеальні криві (геометрично збалансовані, симетричні).

---

▶ Координати точки в системі "кривих шарів":

plaintext
P = (Sᵢ, E, C₁, C₂, …, Cn)

де:

• Sᵢ — номер шару (відносно ядра системи),

• E — довжина екватора шару (в U),

• C₁..Cn — параметри внутрішніх кривих (кут, відстань, фаза, кривина, період).

---

🌀 Переваги та застосування нової системи:

Властивість	Значення
Монодискретність	Кожен шар має власну одиницю, немає спільного метричного простору
Нелінійна ізотропність	Всі напрямки однаково "нерівні", на відміну від ортогональних систем
Фрактальна розгортка	Кожен шар містить підшари, які самі містять свої "екватори"
Застосування	Геометрія складних біооб'єктів, мережі нервових вузлів, криптографія, структура Minecraft-world, мультислойні топології, економіки шарового типу (доступ, вплив, ресурс)

---

🌐 Порівняння із класичними:

Параметр	Лінійна система	Шарова (нова) система
Просторова одиниця	Пряма	Шар з екватором
Параметри	x, y, z	Sᵢ, E, C₁..Cn
Вимірність	3D / nD	Фазово-шарова (n-шарів)
Скалярна відстань	√(x² + y² + z²)	Сума дуг і хордових кривих
Візуалізація	Сітка, куби	Концентричні оболонки

---

Хочеш — можу:

• зобразити це як схему у вигляді 3D-шарів і внутрішніх дуг,

• зробити сцену в Minecraft або WebGL-просторі,

• або сформувати математичну модель з формулами обчислення координат у такому шаровому просторі.

🔧 Опис 3-х дотичних сфер у ряд (Minecraft Java Edition)

• Блоки: minecraft:glass

• Радіус кожної сфери: 5 блоків

• Центри сфер:

  • Перша: (0, 64, 0)

  • Друга: (10, 64, 0)

  • Третя: (20, 64, 0)
    (вони дотичні по x-осі)

---

📝 Що робити:

1. Скачай Amulet Editor: https://www.amuletmc.com/

2. Створи новий світ або відкрий існуючий.

3. Побудуй вручну або встав структуру glass sphere з радіусом 5.

4. Скопіюй двічі з offset +10 по X, щоб зробити лінію дотичних сфер.

5. За бажанням — додай позначення дотичних точок, command block з назвою T₁₂, T₂₃ тощо.

---

Хочеш — я підготую тобі .mcfunction код для WorldEdit або дам готову таблицю координат блоків для вставки вручну?

Також можу зробити .nbt файл (потрібна лише одна повторна спроба, коли система знову дозволить).

📘 1. Структурний опис графа пружної моногамної решітки

🔹 Вузли (Nodes):

• Sᵢ — сфера (осередок) з радіусом Rᵢ, центром Cᵢ = (xᵢ, yᵢ, zᵢ)

• Має параметри:

  • Rᵢ — поточний радіус (змінюється через деформацію)

  • Eᵢ = 2π·Rᵢ — довжина екватора

  • Fᵢ — сила впливу на сферу (векторна)

🔹 Ребра (Edges):

• Eᵢⱼ — точка дотику між двома сферами Sᵢ і Sⱼ

• Має:

  • Tᵢⱼ — точка дотику (вектор від Cᵢ до Cⱼ)

  • kᵢⱼ — коефіцієнт пружного зв’язку (аналог пружини)

  • Δ — відстань, на яку сфери можуть стиснутися або розтягнутися

---

📐 2. Математична модель зв’язку між деформацією та зсувом

Нехай:

• Fᵢ — вектор сили, прикладеної до сфери Sᵢ

• ΔRᵢ — зміна її радіуса

• ΔCᵢ — зсув центру сфери (деформація зв’язку з іншими)

🔷 Деформація сфери:

$$ΔRᵢ = εᵢ · |Fᵢ| / kᵢ$$

де:

• εᵢ — еластичність сфери

• kᵢ — жорсткість оболонки

🔷 Зсув центра сфери:

$$ΔCᵢ = ∑ⱼ (εᵢⱼ / kᵢⱼ) · (Fᵢⱼ · T̂ᵢⱼ)$$

де:

• Fᵢⱼ — складова сили між Sᵢ і Sⱼ у напрямку точки дотику Tᵢⱼ

• T̂ᵢⱼ — одиничний вектор від Cᵢ до Cⱼ

• εᵢⱼ — еластичність контакту

• kᵢⱼ — жорсткість дотику

Це дозволяє враховувати, як вся сітка реагує на локальний тиск чи імпульс, подібно до системи мас–пружин у фізичних симуляціях.

---

📉 3. Приклад локальної деформації

Допустимо, що до сфери S₀ прикладена сила F₀ = (1, 0, 0):

• Радіус зміниться:

  $$ΔR₀ = ε₀ · 1 / k₀$$

• Центр зміститься:

  $$ΔC₀ = (ε₀₁ / k₀₁) · (1 · T̂₀₁) + (ε₀₂ / k₀₂) · (1 · T̂₀₂) + ...$$

• Сусідні сфери S₁, S₂, … отримають реактивні сили і теж деформуються.

---

🧠 4. Графові властивості решітки

Властивість	Значення
Тип графа	Безорієнтований, зважений
Вузли (Nodes)	Сфери
Ребра (Edges)	Пружні з’єднання
Вага ребра	kᵢⱼ — жорсткість з'єднання
Стан вузла	(Cᵢ, Rᵢ, Fᵢ)

---

🧩 Наступний крок:

Хочеш:

• Візуалізувати такий граф (в Python / WebGL)?

• Створити симуляцію у вигляді гри / анімації?

• Перетворити це в NFT-модель або інструмент моделювання?

🔹 Довжина екватора шару = 3 умовні одиниці (у.о.)

---

🧮 1. Основні розрахунки

🔷 Екватор — це довжина кола:

$$L = 2\pi R$$

де:

• L = 3 у.о.

• R — радіус

---

🔹 Радіус R:

$$R = \frac{L}{2\pi} = \frac{3}{2\pi} ≈ 0.477 \text{ у.о.}$$

---

🔹 Діаметр D = 2R:

$$D ≈ 2 × 0.477 ≈ 0.954 \text{ у.о.}$$

---

🧊 2. Інші геометричні характеристики сфери

🔹 Площа поверхні:

$$A = 4\pi R^2 ≈ 4\pi (0.477)^2 ≈ 2.857 \text{ у.о.}^2$$

🔹 Об’єм сфери:

$$V = \frac{4}{3} \pi R^3 ≈ \frac{4}{3} \pi (0.477)^3 ≈ 0.454 \text{ у.о.}^3$$

---

📘 Підсумкова таблиця

Параметр	Формула	Значення (у.о.)
Довжина екватора L	2πR	3 (задано)
Радіус R	L / 2π	≈ 0.477
Діаметр D	2R	≈ 0.954
Площа поверхні A	4πR²	≈ 2.857
Об’єм сфери V	(4/3)πR³	≈ 0.454

---

🧠 Що далі?

Хочеш:

• Розрахувати масштабування для ряду шарів з різними екваторами?

• Побудувати таблицю для кількох рівнів шарів (L = 3, 6, 9...)?

• Перевести в Minecraft-розміри, де 1 у.о. = 1 блок?

Так, абсолютно логічно! Це класична задача щільного заповнення простору кулями різного радіуса, де менші кулі використовуються для заповнення порожнин між більшими, що дозволяє:

• підвищити щільність структури,

• змоделювати енерго- або інформаційний простір без втрат,

• створити ієрархічну (фрактальну) систему сфер.

---

🔵 Вихідна модель

Маємо решітку сфер однакового радіуса R₁, які торкаються одна одну у точках і формують гексагональну/кубічну упаковку.

Між трьома дотичними кулями утворюється порожнина — тетраедральна або октаедральна — і саме туди може вписатись менша куля R₂.

---

🧮 Розрахунок радіуса меншої кулі, що вписується між трьома дотичними кулями:

🔹 У класичному випадку тетраедра з 4 однакових дотичних куль (три внизу, одна зверху):

$$R_2 = \left( \frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) R_1 ≈ 0.2247 \cdot R_1$$

Якщо наш базовий радіус:

$$R_1 = \frac{3}{2\pi} ≈ 0.477$$

Тоді менший радіус:

$$R_2 ≈ 0.2247 \cdot 0.477 ≈ 0.1072 \text{ у.о.}$$

---

📏 Менші кулі: Довжина екватора

$$L_2 = 2\pi R_2 ≈ 2\pi \cdot 0.1072 ≈ 0.673 \text{ у.о.}$$

---

📘 Підсумок:

Параметр	Величина (у.о.)
Радіус великої кулі R₁	0.477
Діаметр великої кулі D₁	0.954
Радіус меншої кулі R₂	≈ 0.107
Діаметр меншої кулі D₂	≈ 0.214
Екватор меншої кулі L₂	≈ 0.673

---

🧠 Практичне застосування:

• Фізика: атомні кристалічні решітки (як в металах).

• Інформаційний простір: вкладені системи знань / шарів обчислень.

• Ігровий дизайн / Minecraft: будова багаторівневих сферичних тунелів з логікою вкладення.

• Мембрани або оболонки, де менші елементи служать зв’язками чи модулями зв’язку.

ти фактично описуєш фрактальну вкладену структуру сфер, яка прагне до максимальної щільності заповнення простору, коли:

• між 3 дотичними більшими сферами вписується одна менша,

• потім у порожнину між меншими — ще менші,

• і цей процес продовжується до нескінченності або певного порогового масштабу (наприклад, планкової довжини, пікселя, або обчислювального ліміту).

---

🔹 1. Відомий випадок: Apollonian Packing (Аполлонів пакінг)

Це геометрична конструкція, в якій вкладаються кулі між трьома дотичними так, щоб заповнити всі простори максимально щільно.

• В 2D це аполлонове вкладення кіл,

• В 3D — аполлонове вкладення сфер (Apollonian Sphere Packing),

• Це призводить до фрактального заповнення з щільністю, що асимптотично наближається до 1, але ніколи повністю не заповнює простір.

---

🔸 2. Формула для наступного радіуса в тетраедральній вкладеній структурі (Soddy’s sphere formula):

Для чотирьох дотичних сфер (три знизу, одна зверху), радіус вписаної сфери $R_{n+1}$ до попередніх з радіусами $R_n$ (однакові) визначається через:

$$\frac{1}{\sqrt{R_{n+1}}} = \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{\sqrt{R_n}} - 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{R_n}}$$

Але практично зручно використовувати приблизне фрактальне зменшення:

$$R_{n+1} ≈ \lambda \cdot R_n \quad \text{де} \quad \lambda ≈ 0.2247$$

(Це значення вже згадувалось — воно виникає в щільному вкладенні між трьома однаковими сферами).

---

🔸 3. Числові значення для вкладених радіусів:

Рівень	Формула	Радіус $R_n$	Діаметр $D_n$	Екватор $L_n$
0	$R_0$	0.477	0.954	3.000
1	$R_1 = 0.2247 \cdot R_0$	0.107	0.214	0.673
2	$R_2 = 0.2247 \cdot R_1$	≈ 0.024	≈ 0.048	≈ 0.152
3	$R_3 = 0.2247^3 \cdot R_0$	≈ 0.0054	≈ 0.011	≈ 0.034
4	...	≈ 0.0012	≈ 0.0024	≈ 0.0084
5	...	≈ 0.00027	≈ 0.00055	≈ 0.00195

Це вже фрактальна серія, яка швидко зменшується і заповнює простір у порожнинах між попередніми шарами, і кожен наступний рівень має ≈ 4.45× менший розмір (обернений коефіцієнт 0.2247).