Піфагорові трійки

 Піфагорові трійки

Приклад Діофантового рівняння другого степеню дає теорема Піфагора, яка пов’язує довжини катетів X та Y прямокутного трикутника з його гіпотенузою Z:

$$x^2 + y^2 = z^2$$

Якщо $m, n$ – натуральні числа, то знайдемо:

$$(m^2+n^2)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4$$ $$(m^2 - 2mn + n^2)(m^2 + 2mn + n^2) + 4mn = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2+n^2)^2$$

Цікавість у пошуку мають тільки нескоротимі трійки чисел, які не мають загального дільника, більшого за одиницю, та трійки в порядку збільшення величин чисел, які одержимо по дуже давно відомим формулам:

$$x = 2mn, \quad y = m^2 - n^2, \quad z = m^2 + n^2$$

При $m=2, n=1$ маємо $x=4, y=3, z=5$ – та першу піфагорову трійку чисел $3, 4, 5$.

Задаючи різні величини натуральних чисел $m, n$, отримаємо множину різних піфагорових трійок чисел, все це описано в літературі $[8]$ та в «Арифметиці» Діофанта.

Виділимо як міг би П’єр Ферма знаходити піфагорові трійки з розкладу степеню на два степені з тим же показником:

$$(1+p+5) = (1+p)^2 + (1+5)^2$$

при $n=2$ та умові розкладу: $1 = 2p \cdot 5$.

Звісно, в цілих числах умова не виконується, але в раціональних числах/дробах може виконуватись, наприклад, задаємо $p = 1/2$. Тоді з умови розкладу маємо: $p = 1/2$.

Підставляємо в розклад квадрату на два квадрати:

$$(1+\frac{1}{2})^2 + (1+1)^2 = (y+1)^2$$

Отримаємо розв’язок $5/2, 3/2, 2$. Після приведення до спільного знаменника та скорочення на нього, отримаємо першу трійку піфагорових чисел: $3, 4, 5$.

Таким чином з пар чисел $p, S$ отримаємо всі піфагорові трійки чисел:

$$(1,5), (1,4), (1,3), (1,2), (1,\frac{5}{2}), (1,\frac{3}{2}), (2,3), (2,\frac{5}{2}), (2,\frac{3}{2}), (3,4), (3,5), \dots$$

і т.д.

Аналогічно отримати піфагорові трійки, задаючи числа $X, Y$, якщо позначити:

$$Z = 1 + pS, \quad X = 1 + p, \quad Y = 1 + S$$

Тоді розклад степеню має вигляд:

$$x^2 + y^2 = (x+y-1)^2$$

а умова розкладу:

$$xy - y = x - \frac{1}{2}.$$

---

Хочеш, щоб я зробив це у вигляді відформатованого PDF або LaTeX‑документа з формулами та прикладами для кращого вигляду?