Модель молекулы воды: "Четырёхпалая звезда на сфере"

 

🔬 Модель: "Четырёхпалая звезда на сфере"

Допустим:

• центр сферы — атом кислорода (O),

• четыре "конца" атомов водорода (руки, флуктуации) — это точки на сфере, $A_1, A_2, B_1, B_2$,

• два атома водорода имеют по два флуктуирующих конца (итого 4),

• нам нужно вычислить углы между векторами $\vec{OA_1}, \vec{OA_2}, \vec{OB_1}, \vec{OB_2}$.

---

📐 Как вычислить угол между "вершинами" концов атомов водорода:

1. Запиши координаты всех четырёх точек, например, равномерно на сфере радиуса $R$. Для простоты пусть $R = 1$.

   Предположим, у нас есть:

   $$\vec{A_1} = (x_1, y_1, z_1), \quad \vec{A_2} = (x_2, y_2, z_2), \quad \vec{B_1} = (x_3, y_3, z_3), \quad \vec{B_2} = (x_4, y_4, z_4)$$

2. Вычисли углы между парами векторов по формуле:

   $$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$

   Поскольку все векторы единичные (на сфере радиуса 1), длина каждого $|\vec{u}| = 1$, и тогда:

   $$\theta = \arccos (\vec{u} \cdot \vec{v})$$

   Например, угол между $\vec{A_1}$ и $\vec{B_2}$:

   $$\theta_{A_1B_2} = \arccos (x_1x_4 + y_1y_4 + z_1z_4)$$

---

📘 Пример:

Пусть:

• $A_1 = (1, 0, 0)$,

• $A_2 = (0, 1, 0)$,

• $B_1 = (0, 0, 1)$,

• $B_2 = (-1, 0, 0)$

Тогда:

$$\vec{A_1} \cdot \vec{A_2} = 0 \Rightarrow \theta = 90^\circ \\ \vec{A_1} \cdot \vec{B_2} = -1 \Rightarrow \theta = 180^\circ$$

---

💡 Геометрическая интерпретация

Ты фактически предлагаешь:

• взять две почти ортогональные плоскости внутри сферы,

• на каждой расположить по два вектора-флуктуации,

• и вычислять углы между векторами внутри или между этими плоскостями.

• четыре вектора (H₁–H₄) равномерно расходятся от центра и формируют структуру правильного тетраэдра, как в реальной молекуле воды. Углы между любыми двумя векторами здесь приблизительно 109,5° — это так называемый тетраэдрический угол.

---

🧠 Вывод

Чтобы вычислить углы между «разными вершинами разных атомов водорода» в твоей 3D-модели:

• Модель нужно задать в виде векторов (или координат) на сфере.

• Используется скалярное произведение векторов для расчёта углов.

• Это легко автоматизируется (хочешь — могу сделать скрипт на Python).